二次形式を $\boldsymbol{x}^ \mathrm{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ の形で表す
対称行列 $\boldsymbol{A}$ を直交行列 $\boldsymbol{P}$ を用いて $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ と対角化する
$\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$ と変数変換する
標準形 $\lambda_1{\boldsymbol{x}^{\prime}_1}^2+\cdots+\lambda_n{\boldsymbol{x}^{\prime}_n}^2$ を得る。このときの係数は行列 $\boldsymbol{A}$ の固有値になる

二次形式

f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2

が与えられたとき、 $\boldsymbol{x}^ \mathrm{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ の形を用いると、

f(x, y)= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

と表される。

$\boldsymbol{A}$ の固有方程式

\begin{align*} |\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|&=\left| \begin{pmatrix} a-\lambda & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c-\lambda \end{pmatrix} \right| \\ &=(a-\lambda)(c-\lambda)-\frac{b^2}{4} \\ &=\lambda^2 -(a+c)\lambda + ac - \frac{b^2}{4} =0 \end{align*}

より、固有値は

\lambda_1=\frac{(a+c)+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}, \lambda_2=\frac{(a+c)-\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}

である。

f(x, y) = x^2 + 4xy + 4y^2

が与えられたとき

(\boldsymbol{A}-\lambda_1 \boldsymbol{E}) \vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \vec{x_1} = \vec{0} \\ \vec{x_1} = k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}

大きさを一に正規化したベクトルは

\vec{p_1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}

(\boldsymbol{A}-\lambda_2 \boldsymbol{E}) \vec{x_2} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \vec{x_2} = \vec{0} \\ \vec{x_2} = k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

大きさを一に正規化したベクトルは

\vec{p_2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

ここで $\vec{p_1},\vec{p_2}$ が直交するため、正規直交基底である。

よって、直交行列 $\boldsymbol{P}$ は

\boldsymbol{P} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

直交行列 $\boldsymbol{P}$ を用いて

\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \frac{1}{\sqrt{5}} \ \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

と対角化される。

ここで

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =P \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}

よって標準形は

\begin{align*} f(x,y)&=x^2 + 4xy + 4y^2 \\ &=(x^{\prime}~~y^{\prime})P^{-1}AP \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} \\ &=(x^{\prime}~~y^{\prime}) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} \\ &=5{y^{\prime}}^2 \end{align*}