二次形式とは?そして標準化する
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Section: Mathematics

二次形式とは

変数に関する次数が2の同時多項式であること。

二変数関数の二次形式

二変数関数である二元二次形式は、変数がx,yx, y、係数がa,b,ca, b, cとすると

f(x,y)=ax2+bxy+cy2f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2

の形で表される。

逆に次の2つの関数は二次形式ではない。

x2+2y2+3xy+4xx^2 + 2y^2 + 3 xy + 4 x
5x2+6xy+75x^2 + 6 xy + 7

第一式には一次式4x4xが含まれているため、二次式には定数77が含まれているため、各式は二次形式ではない。

ベクトルと行列を用いた表現

二次形式は、ベクトルと行列を用いて、

qA(x1,,xn)=i=1nj=1naijxixj=xTAxq_A(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j} = \boldsymbol{x}^ \mathrm{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}

と表される。

行列A\boldsymbol{A}は必ず対称行列になる。

二元二次形式

q(x,y)=ax2+bxy+cy2=(xy)(ab2b2c)(xy)=xTAxq(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \boldsymbol{x}^ \mathrm{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}

また x=(xy),A=(ab2b2c)\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} である。

一般化された行列A

n×nn \times n行列A\boldsymbol{A}の各要素は

Aij={aiiif i=jaij+aji2if ij,(i,j=1,2,,n)\boldsymbol{A}_{ij} = \begin{cases} \boldsymbol{a}_{ii} &\text{if } i = j \\ \frac{\boldsymbol{a}_{ij} + \boldsymbol{a}_{ji}}{2} &\text{if } i \ne j \end{cases} , (i, j = 1,2,\cdots,n)

と表される。

標準形

ax2+cy2ax^2+cy^2のように各変数の2乗の項のみで構成される二次形式を標準形という。

ある二次形式を標準形に直すことを標準化という。

求め方

  1. 二次形式をxTAx\boldsymbol{x}^ \mathrm{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}の形で表す
  2. 対称行列A\boldsymbol{A}を直交行列P\boldsymbol{P}を用いてP1AP\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}と対角化する
  3. x=P1x\boldsymbol{x}^{\prime}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}と変数変換する
  4. 標準形λ1x12++λnxn2\lambda_1{\boldsymbol{x}^{\prime}_1}^2+\cdots+\lambda_n{\boldsymbol{x}^{\prime}_n}^2を得る。このときの係数は行列A\boldsymbol{A}の固有値になる

xAxの形で表す

二次形式

f(x,y)=ax2+bxy+cy2f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2

が与えられたとき、xTAx\boldsymbol{x}^ \mathrm{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}の形を用いると、

f(x,y)=(xy)(ab2b2c)(xy)f(x, y)= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

と表される。

A\boldsymbol{A}の固有方程式

AλE=(ccaλb2b2cλ)=(aλ)(cλ)b24=λ2(a+c)λ+acb24=0\begin{align*} |\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|&=\left| \begin{pmatrix}{cc} a-\lambda & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c-\lambda \end{pmatrix} \right| \\ &=(a-\lambda)(c-\lambda)-\frac{b^2}{4} \\ &=\lambda^2 -(a+c)\lambda + ac - \frac{b^2}{4} =0 \end{align*}

より、固有値は

λ1=(a+c)+(ac)2+b22,λ2=(a+c)(ac)2+b22\lambda_1=\frac{(a+c)+\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}, \lambda_2=\frac{(a+c)-\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{2}

である。

具体例

f(x,y)=x2+4xy+4y2f(x, y) = x^2 + 4xy + 4y^2

が与えられたとき

  1. λ1=0\lambda_1=0のとき
(Aλ1E)x1=(1224)x1=0x1=k1(21)(\boldsymbol{A}-\lambda_1 \boldsymbol{E}) \vec{x_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \vec{x_1} = \vec{0} \\ \vec{x_1} = k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}

大きさを一に正規化したベクトルは

p1=15(21) \vec{p_1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}
  1. λ1=5\lambda_1=5のとき
(Aλ2E)x2=(4221)x2=0x2=k2(12)(\boldsymbol{A}-\lambda_2 \boldsymbol{E}) \vec{x_2} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \vec{x_2} = \vec{0} \\ \vec{x_2} = k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

大きさを一に正規化したベクトルは

p2=15(12) \vec{p_2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

ここでp1,p2\vec{p_1},\vec{p_2}が直交するため、正規直交基底である。

よって、直交行列P\boldsymbol{P}

P=15(2112)\boldsymbol{P} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

直交行列P\boldsymbol{P}を用いて

P1AP=PTAP=15 (2112)(1224)15(2112)=(0005)\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \frac{1}{\sqrt{5}} \ \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

と対角化される。

ここで

(xy)=P(xy)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =P \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}

よって標準形は

f(x,y)=x2+4xy+4y2=(x  y)P1AP(xy)=(x  y)(0005)(xy)=5y2\begin{align*} f(x,y)&=x^2 + 4xy + 4y^2 \\ &=(x^{\prime}~~y^{\prime})P^{-1}AP \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} \\ &=(x^{\prime}~~y^{\prime}) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} \\ &=5{y^{\prime}}^2 \end{align*}